1、阴影部分面积怎么算？

阴影面积对于初中的同学来说，可能是个很难迈过去的坎儿，但是这绝不是我们放弃的理由！

阴影部分面积计算是全国中考的高频考点，常在选择题和填空题中考查，要想中考不丢分，这些方法你一定不能错过哦！

求阴影部分面积的常用方法有以下三种：

一、公式法 （所求面积的图形是规则图形）

二、和差法 （所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）

（1）直接和差法

（2）构造和差法

三、等积变换法 （直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、选择、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）

（1） 全等法

（2）对称法

（3） 平移法

（4） 旋转法

练习题

2、求阴影部分的面积

1、如下图：正方形边长为2厘米，求阴影部分面积。

思路引导：把“叶形”平均分成2份，然后拼成下面的图形。即一个半圆减去一个三角形。

列式：2÷2＝1（厘米）

1/2×3.14×12－2×1÷2

＝1.57－1

＝0.57（平方厘米）

2、如下图，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。

思路引导：很容易看出，要求阴影部分的面积只要用正方形的面积－圆的面积，但求圆的面积比较困难，因为我们不知道圆的半径，看似可以求出正方形的边长，就可以知道圆的直径了，但小学没有学过开方。因此，我们只能想别的办法，用设未知数的方法试一试。

设圆的半径为r,那么正方形的面积＝2r×2r＝18，于是得到下面的等式：

2r×2r＝18

4r2＝18

4r2＝18÷4

r2＝4.5

图中圆的面积：3.14×r2＝3.14×4.5＝14.13（平方厘米）

阴影部分的面积：18－14.13＝3.87（平方厘米）

3、如下图正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。

思路引导：很容易看出图中阴影部分面积＝正方形面积－四分之一圆的面积，然而我们发现圆的面积无法计算，因为我们不知道圆的半径或者直径，虽然说求出正方形的边长就能知道圆的直径，可是小学阶段没有学习开方，这条路子也行不通。

很容易联想到上面一题的做法，我们设圆的半径为r,那么正方形的面积＝r×r＝18，于是有下面的等式：

r×r＝18

r2＝18

阴影部分面积：18－1/4×3.14×18

＝18－14.13

＝3.87（平方厘米）

4、如右图：正方形的边长6分米，求图中阴影部分的面积。怎么计算阴影部分的面积？

思路引导：观察图形，如果把空白的四部分剪下，组合在一起，可以拼成一个半径是3分米的圆形，这样图中的四块阴影部分的面积就可以从正方形面积中减去这个圆的面积求出。

列式: 6×6-3.14×32

＝36-3.14×9

＝36-28.26

＝7.74（平方厘米）

5、图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

思路引导：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。仔细观察我们发现用四分之一大圆的面积（或者大扇形面积）减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。所以阴影部分面积=1/4大圆的面积-(长方形面积-1/4小圆面积)=1/4大圆面积+1/4小圆面积-长方形面积。

列式：1/4×3.14×52+1/4×3.14×22-5×2

＝1/4×3.14×（52+22）-5×2

＝1/4×3.14×（25+4）-5×2

＝1/4×3.14×29-10

＝22.765-10

＝12.765（平方厘米）

6、求下图S形水泥弯路面的面积。（单位：米）

思路引导：把左图中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，便转化为右图，S形水泥路面的面积转化为右图中的阴影部分的面积。

S形水泥路的面积是：30×2=60（平方米）

3、如何求阴影部分面积

【分析】

图中形状不可直接求出，因此我们需要采用其他可求面积的形状互相加减，才能得出结果。

考察该图形后，我们可以采用如下方式划分区域：

那么，所求面积=斜线面积+网格面积-绿色面积

其中：斜线区域与绿色区域均为扇形，网格区域为三角形，均可以采用公式求得面积。

【作图】

将两圆心分别命名为O₁、O₂，两弧线右边端点分别命名为A、B，两弧线交点为C，连接O₁C、O₂C，得到如下图：

则有：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC……①

【注意】

到这一步，如果我们直接求两个扇形面积，则根据扇形面积公式，如下：

S=θr²/2（其中，θ为圆心角，r为半径）

但是，图中∠1和∠2只能求出三角函数值，欲求角度值必须用反三角函数，则结果中存在两个反三角函数，不够简洁。

考虑一下图形，其实我们还可以继续进行等量代换，以便消减反三角函数。

【继续作图】

过O₂做O₁C的平行线，交弧BC于D点，连接CD，得到下图：

从图中，我们容易求证或计算得出：

O₁C‖O₂D且O₁C=O₂D，∠AO₁C=∠BO₂D

即：扇形O₁AC=扇形O₂BD

则，原求阴影面积的①式可变成：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC

=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD……②

我们看看图，如上述算式②计算出来的面积是哪个面积呢？其实就是下图的阴影面积：

计算公式变成：

S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD

=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD……③

【计算】

设ΔCO₁O₂底边O₁O₂上的高为h，则有：

h²=O₁C²-(O₁O₂/2)²=4²-1²=15

SΔCO₁O₂=O₁O₂·h/2=2×√15/2=√15……④

∠CO₂D=2arcsin[(CD/2)/O₂C]=2arcsin[(2/2)/4]=2arcsin(1/4)

S扇形O₂CD=∠CO₂D·O₂C²/2=2arcsin(1/4)×2²÷2=4arcsin(1/4)……⑤

将④⑤代入③式，可得：

S阴影=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD=√15+4arcsin(1/4)……⑥

【附】

如果不进行第二部面积代换，直接按①式计算阴影面积，结果为：

S阴影=√15+2arccos(-1/4)-2arccos(1/4)……⑦

你可以自行比较一下⑥⑦两个答案，是否可以计算相等？

4、下图中两个正方形的边长分别是10cm和8 cm.你能求出阴影部分的面积吗

如图所示，连接小正方形的对角线CD，AB与大正方形的对角线AB平行，即AB∥CD。再连接AD。在这两条平行线中间有两个三角形，一个是由阴影部分+△ADE所组成的△ADB，另一个是△ABC。

以AB为底，这两个三角形等高，所以它们的面积相等。

△ADB的面积=△ABC的面积

=1/2×10×10=50cm²

阴影部分面积=△ADB-△ADE

=50-1/2×8×（10-8）

=50-8

=42cm²。

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