1、刘徽为什么要设计“牟合方盖”？

“牟合方盖”是魏晋时期的数学家刘徽设计的一个形状奇特的几何体。

方法是：

在一个立方体内分别作纵横两个内接圆柱体，二者相交的部分即为牟合方盖。这里的“牟”表示相等，“盖”表示伞，这个几何体的外形好像是把两个方口圆顶的伞上下拼合在一起，故取此名。

刘徽设计牟合方盖的目的：

他是想通过这个物体计算出球的体积。如今我们知道，球体积的计算公式为V=4/3πr3，这个公式的推导是古代数学的难点之一，在古代没有人知道这个计算公式，刘徽想通过“牟合方盖”计算出来。

西汉时期的《九章算术》认为，球体积为球直径立方的9/16。这个计算方法可能来源于实物测量或几何估算。

这样算出来的值要比实际值大1/6左右，误差相当大。此后东汉的张衡将其修正为球直径立方的5/8，可是它比《九章算术》的值差得更多。

刘徽在为《九章算术》作注的时候，发现以上两个计算公式都不准确。

一个原因可能是二者所用的π值都不精确，《九章算术》中取π值为3，张衡则取[插图]，而刘徽运用割圆术得出π值约为3.14。

为此，刘徽设计了牟合方盖，并计算出球与牟合方盖的体积比为π：4，这样，只要算出牟合方盖的体积，便可得到正确的球积公式。

总结：

实际上牟合方盖又可以分为八个形状相同的小几何体，所以问题的关键便是如何计算这八个小几何体的体积。

遗憾的是，牟合方盖的形状太过奇特，刘徽最终没能推导出其体积的计算公式。他在为《九章算术》所写的注释中坦率地承认了这一点，并表示这个问题只能留待后人去解决了。

2、牟合方盖指的是什么

牟合方盖是计算球体体积的方法。

牟合方盖就是当一个正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法。

牟合方盖的由来

我国著名的数学典书籍《九章算术》中记载了求已知体积的球体直径的方法，称之为“开立圆术”，“立圆”即为球体。

所谓“开立圆术”，书中载曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”意思是说球体的半径等于九分之十六乘以体积再开立方，与此同时，也就得出了球的体积公式：十六分之九乘以半径的三次方。

当然，我们一眼就可以看出这个公式是错误的。可是我们应该知道任何一个数学公式，无论看起来多么简单，都是一代代数学家不多努力而得到的劳动成果。既然我们都看出了错误，更别提那些数学家们了。其中，魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时便发现了其中的错误。

刘徽发现如果取兀等于3，所求球的体积则会比实际少；如果按兀等于4来计算的话，球的体积又会比实际的要多。二者之间虽有一定差异，但也可以互相通补。如果直接以十六分之九的比率来计算，误差则要大了许多。经过不断的钻研，刘徽创造了一个独特的立体图形，并希望通过这个图形求出球体的体积公式。

由于这个图形上下像两把对称的伞，总体又像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。据刘徽所作的《九章算术注》记载，刘徽构造了一个每个横切面都是正方形的立体图形，然后再构造一个与横切面在同一高度的圆形，总的来说，就是两个相同的圆柱体垂直相交得到的几何图形，刘徽将这个图形命名为“牟合方盖”。

当时刘徽已经推算出圆周率为3.1416，他也可以通过圆周率得出圆及它的外接正方形的面积比为兀：4，他希望通过类比推理证实证实《九章算术》中公式是错误的，并由此求出球体的体积公式。

刘徽通过计算证实了《九章算术》的错误，至于怎么得出的就不详细说明了，毕竟咱聊的是历史而非数学。与此同时，刘徽还希望通过“牟合方盖”求出球的体积，因为“牟合方盖”的体积跟其内接球体体积有极大的相关性。可惜，刘徽一生都没有解决这个问题，直到200年后这个问题才被彻底解决。

解决此问题的人便是南北朝时期杰出的数学家_冲之及他的儿子祖_，他们沿用了刘徽的思想，将原来的“牟合方盖”分为完全相同的八份，取八分之一进行研究。这个思想与著名的迪卡尔坐标系极为类似，这也验证了一个重要结论：人类文明发展的总体趋势都是朝着同一方向发展。

3、牟合方盖是用来计算什么的

牟合方盖是用来计算球体体积的方法。

所谓“牟合方盖”，就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞，所以就称它为“牟合方盖”。在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4，所以“牟合方盖”的体积与球体体积之比亦应为 π : 4。可惜的是，刘徽并没有求出“牟合方盖”的体积，所以亦不知道球体体积的计算公式。

牟合方盖的源起

《九章算术》中曾认为，球体的外切圆柱体积与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比。《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？”

开立圆术曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”

4、放在桌子上可以滚动的牟合方盖，是怎么制造的？设计原理是什么？

牟合方盖，什么事，我看只能表示一脸懵逼了。不得不感叹啊，这大学高数真是个复杂的东西啊，真是历史悠久啊，真是什么都有啊，涉及面广。不得不说，牟鹤方盖属于中国的数学家。它是由中国古代数学家刘徽发现并采用的。它是一种用来计算球体体积的方法，类似于现在的微元法。因为它的模型像一个牟氏方盒，所以被称为牟氏方盖。

由于它的模型是方形的，用于求球的体积，所以求我们的家伙更多的是应用在工程数学中，我们都知道工程中多用模型，而求我们的侧盖是最好用的，不仅有这种模型，更方便求球的体积，是工程中常用的方法。它是工程数学的关键内容。值得骄傲的是，牟合方盖是我国古代的一种计算方法，早在中国数学典籍《九章算术》的 "韶光 "篇中就有所谓 "开立圆术"。

"立圆 "的含义是指球体，而 "开圆术 "即是求已知体积的球体的直径的方法。刘徽在其注解中对牟合方盖的描述是："取立方棋八，皆作立方一寸，品如立方二寸。规为圆囷，径二寸，高二寸。其形状与牟合方盖相似。八颗棋子都像杨马，圆的。按盖，方率也。丸孰，即圆率也。"其实，刘辉想构造一个立体图形，它的每个横截面都是一个正方形，并将其外置于与球体横截面高度相同的圆上，而这个圆就是牟合方盖，因为刘辉只知道一个圆与它的外方面积比为π：他希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式是错误的。

当然，他也希望从这个方面入手，找到球体体积的正确公式。遗憾的是，刘徽始终无法解决，他只能指出，解决的办法是计算 "外棋 "的体积，但由于 "外棋 "的形状复杂，所以没有成功。后来，祖冲之父子用 "牟合方盖 "彻底解决了球体体积公式的问题。

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