1、抛物线的性质

抛物线的性质

1、抛物线是镜像对称的，并且当定向大致为U形，如果不同的方向，它仍然是抛物线。

2、垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。

与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。

沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”，“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。

3、抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开并且，所有抛物线都是几何相似的。

抛物线介绍：

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

2、抛物线的性质是什么啊

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点。

焦点是指构建曲线的特殊点。

例如，一个或两个焦点可用于定义圆锥截面，其四种类型是圆形，椭圆形，抛物线和双曲线。此外，使用两个焦点来定义卡西尼椭圆和笛卡尔椭圆，并且使用两个以上焦点来定义n－椭圆。

：

y＝a（x－h）²＋k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax²的图像相同，当x＝h时，y最大（小）值＝k．有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点（1，2）和另一任意点（3，10），求y的解析式。

解：设y＝a（x－1）²＋2，把（3，10）代入上式，解得y＝2（x－1）²＋2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象；

当h0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

来源：百度百科-抛物线

来源：百度百科-焦点

3、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.

|a|越大,则抛物线的开口越小.

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.

事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到

5.常数项c决定抛物线与y轴交点.

抛物线与y轴交于（0,c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2;-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.

Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.

Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）

当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+b+c

②当x=-1时 y=a-b+c

③当x=2时 y=4a+2b+c

④当x=-2时 y=4a-2b+c

8.定义域：R

值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；

Δ＞0,图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；

Δ＝0,图象与x轴交于一点：

Δ＜0,图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）

对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小

此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.

4、抛物线的几何性质

抛物线的简单几何性质1、范围：因为，由方程可知，这条抛物线上任意一点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.

2、对称性：以代，方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴

3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程中，当时，，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.

4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用表示.按照抛物线的定义，

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